Çıplak İstatistik, en sıkıcı bilim hakkında en ilginç kitap

2024 Yazar: Malcolm Clapton | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 04:13

Kim demiş istatistiğin sıkıcı ve işe yaramaz bir bilim olduğunu? Charles Wheelan, ikna edici bir şekilde, bunun durumdan çok uzak olduğunu savunuyor. Bugün onun kitabından bir keçi değil, bir araba nasıl kazanılır, istatistikleri kullanarak bir alıntı yayınlıyoruz ve sezginin sizi yanıltabileceğini anlıyoruz.

Monty Hall Bilmecesi

Monty Hall Gizemi, 1963'te Amerika Birleşik Devletleri'nde prömiyeri yapılan ve birçok ülkede hala popüler olan Let's Make a Deal adlı bir yarışma programında katılımcıları şaşırtan, olasılık teorisinde ünlü bir problemdir. (Bu programı çocukken ne zaman izlesem, hastalıktan okula gitmediğim zamanları hatırlıyorum.) Kitabın girişinde bu yarışma programının istatistikçiler için ilginç olabileceğini belirtmiştim. Her sayının sonunda, finale kalan katılımcı, Monty Hall ile birlikte üç büyük kapının önünde durdu: 1 No'lu Kapı, 2 No'lu Kapı ve 3 No'lu Kapı Monty Hall, finaliste birinin arkasında olduğunu açıkladı. bu kapılardan biri çok değerli bir ödüldü - örneğin yeni bir araba ve diğer ikisinin arkasında bir keçi. Finalist, kapılardan birini seçip arkasında ne olduğunu bulmak zorundaydı. (Gösteriye katılanlar arasında keçi almak isteyen en az bir kişi var mıydı bilmiyorum ama basitlik adına katılımcıların büyük çoğunluğunun yeni bir araba hayali kurduğunu varsayacağız.)

İlk kazanma olasılığını belirlemek oldukça kolaydır. Üç kapı var, ikisi keçiyi, üçüncüsü de arabayı saklıyor. Gösteriye katılan bir katılımcı, Monty Hall ile birlikte bu kapıların önünde durduğunda, arabanın arkasında bulunduğu kapıyı seçmek için üçte bir şansı vardır. Ancak, yukarıda belirtildiği gibi, Let's Make a Deal'da bu TV programını ve sunucusunu olasılık teorisi literatüründe ölümsüzleştiren bir yakalama var. Gösterinin finalisti üç kapıdan birini gösterdikten sonra, Monty Hall, arkasında her zaman bir keçi bulunan kalan iki kapıdan birini açar. Sonra Monty Hall finaliste fikrini değiştirmek isteyip istemediğini, yani önceden seçilmiş kapalı kapıyı başka bir kapalı kapı lehine terk edip etmediğini sorar.

Örnek vermek gerekirse, katılımcının 1 No'lu Kapıyı gösterdiğini varsayalım. Sonra Monty Hall, arkasında keçinin saklandığı Kapı 3'ü açtı. İki kapı, Kapı # 1 ve Kapı # 2 kapalı kalır. Değerli ödül 1 No'lu Kapının arkasında olsaydı, finalist onu kazanırdı ve 2 No'lu Kapının arkasında olsaydı, o zaman kaybederdi. Bu noktada Monty Hall oyuncuya ilk seçimini değiştirmek isteyip istemediğini sorar (bu durumda, Kapı # 1'i Kapı # 2 lehine terk edin). Elbette her iki kapının da kapalı olduğunu hatırlayacaksınız. Katılımcının aldığı tek yeni bilgi, keçinin seçmediği iki kapıdan birinin arkasında kaldığıydı.

Finalist, Kapı # 2 lehine ilk seçimden vazgeçmeli mi?

Cevap veriyorum: evet, olmalı. Orijinal seçime sadık kalırsa, değerli bir ödül kazanma olasılığı ⅓ olacaktır; fikrini değiştirir ve 2 No'lu Kapıyı işaret ederse, değerli bir ödül kazanma olasılığı ⅔ olacaktır. Bana inanmıyorsanız, okumaya devam edin.

Bu cevabın ilk bakışta bariz olmaktan uzak olduğunu kabul ediyorum. Görünüşe göre finalist kalan iki kapıdan hangisini seçerse, her iki durumda da değerli bir ödül alma olasılığı ⅓. Üç kapalı kapı var. İlk başta, değerli bir ödülün herhangi birinin arkasına gizlenmiş olma olasılığı ⅓'dir. Finalistin seçimini başka bir kapalı kapı lehine değiştirme kararı bir fark yaratır mı?

Tabii ki, Monty Hall her kapının arkasında ne olduğunu bildiği için. Finalist Kapı # 1'i seçerse ve gerçekten arkasında bir araba varsa, Monty Hall arkasında gizlenen keçiyi ortaya çıkarmak için Kapı # 2 veya Kapı # 3'ü açabilir.

Finalist Kapı 1'i seçerse ve araba Kapı 2'nin arkasındaysa, Monty Hall Kapı 3'ü açar.

Finalist Kapı 1'i gösteriyorsa ve araba Kapı 3'ün arkasındaysa, Monty Hall Kapı 2'yi açacaktır.

Sunucu kapılardan birini açtıktan sonra fikrini değiştirerek finalist bir kapı yerine iki kapı seçme avantajına sahip olur. Bu analizin doğruluğuna sizi üç farklı şekilde ikna etmeye çalışacağım.

Birincisi ampiriktir. 2008'de New York Times köşe yazarı John Tyerney, Monty Hall Fenomeni hakkında yazdı. Bundan sonra, yayın personeli, bu oyunu oynamanıza ve ilk seçiminizi değiştirip değiştirmemeye bağımsız olarak karar vermenize izin veren etkileşimli bir program geliştirdi. (Program, kapıların arkasından görünen küçük keçiler ve küçük arabalar bile sağlar.) Program, ilk seçiminizi değiştirmeniz durumunda ve ikna olmamanız durumunda kazancınızı kaydeder. Kızlarımdan birine bu oyunu 100 kez oynaması için para ödedim, her seferinde orijinal seçimini değiştirdi. Ayrıca kardeşine oyunu 100 kez oynaması için para ödedim, her seferinde orijinal kararı korudum. Kızı 72 kez kazandı; erkek kardeşi 33 kez. Her çaba iki dolar ile ödüllendirildi.

Let's Make a Deal oyununun bölümlerinden elde edilen kanıtlar da aynı modeli gösteriyor. The Drunkard's Walk'un yazarı Leonard Mlodinov'a göre, ilk seçimlerini değiştiren finalistlerin kazanma olasılığı, ikna olmayanlardan iki kat daha fazlaydı.

Bu fenomen için ikinci açıklamam sezgiye dayanıyor. Diyelim ki oyunun kuralları biraz değişti. Örneğin, finalist üç kapıdan birini seçerek başlar: Başlangıçta planlandığı gibi Kapı # 1, Kapı # 2 ve Kapı # 3. Ancak daha sonra, keçinin saklandığı kapılardan herhangi birini açmadan önce Monty Hall sorar: "Kalan iki kapıyı açmak karşılığında seçiminizden vazgeçmeyi kabul ediyor musunuz?" Yani, Kapı # 1'i seçtiyseniz, fikrinizi Kapı # 2 ve Kapı # 3 lehine değiştirebilirsiniz. İlk önce Kapı # 3'ü işaret ettiyseniz, Kapı # 1 ve Kapı # 2'yi seçebilirsiniz.

Bu sizin için özellikle zor bir karar olmayacak: ⅓'den ⅔'ye kazanma şansınızı artıracağından, kalan iki kapı lehine ilk seçimden vazgeçmeniz gerektiği oldukça açık. En ilginç şey, özünde, keçinin saklandığı kapıyı açtıktan sonra Monty Hall'un size gerçek bir oyunda sunduğu budur. Temel gerçek şu ki, size iki kapı seçme şansı verilseydi, bir tanesinin arkasında nasıl olsa bir keçi gizlenirdi. Monty Hall, keçinin arkasındaki kapıyı açtığında ve ancak o zaman ilk seçiminizi değiştirmeyi kabul edip etmediğinizi sorduğunda, değerli bir ödül kazanma şansınızı önemli ölçüde artırır! Temel olarak, Monty Hall size, "İlk seferde seçmediğiniz iki kapıdan birinin arkasında değerli bir ödülün saklanma şansı ⅔, ki bu hala ⅓'den fazla!" diyor.

Bunu böyle hayal edebilirsiniz. Diyelim ki 1 No'lu Kapıyı işaret ettiniz. Ondan sonra Monty Hall, size 2 numaralı Kapı ve 3 numaralı Kapı lehine orijinal kararı terk etme fırsatı veriyor. Kabul ediyorsunuz ve emrinizde iki kapı var, yani her neden, ⅓ değil, ⅔ olasılıkla değerli bir ödül kazanmayı bekler. Şu anda Monty Hall "sizin" kapılarınızdan biri olan 3. Kapıyı açsaydı ve arkasında bir keçi olsaydı ne olurdu? Bu gerçek, kararınıza olan güveninizi sarsar mı? Tabii ki değil. Araba Kapı 3'ün arkasına saklanıyor olsaydı, Monty Hall Kapı 2'yi açardı! Sana hiçbir şey göstermeyecekti.

Oyun bir nakavt senaryosuna göre oynandığında, Monty Hall size gerçekten başta belirttiğiniz kapı ile biri araba olabilecek kalan iki kapı arasında bir seçim sunuyor. Monty Hall, keçinin saklandığı kapıyı açtığında, diğer iki kapıdan hangisinin araba olmadığını göstererek size sadece bir iyilik yapıyor. Aşağıdaki senaryoların her ikisinde de aynı kazanma olasılığınız vardır.

1. Kapı # 1'i seçip, ardından herhangi bir kapı açılmadan önce Kapı # 2 ve Kapı # 3'e “geçmeyi” kabul edin.
2. Kapı # 1'i seçtikten sonra, Monty Hall size Kapı # 3'ün arkasındaki keçiyi gösterdikten sonra Kapı # 2'ye "geçmeyi" kabul edin (veya Monty Hall size Kapı # 2'nin arkasındaki keçiyi gösterdikten sonra Kapı # 3'ü seçin).

Her iki durumda da, ilk karardan vazgeçmek size bir kapıya göre iki kapı avantajı sağlar ve böylece kazanma şansınızı ⅓'den ⅔'ye ikiye katlayabilirsiniz.

Üçüncü seçeneğim, aynı temel sezginin daha radikal bir versiyonudur. Diyelim ki Monty Hall sizden 100 kapıdan birini seçmenizi istiyor (üç kapıdan biri yerine). Bunu yaptıktan sonra, diyelim ki 47 numaralı kapıyı göstererek, keçileri ortaya çıkaracak olan kalan 98 kapıyı açıyor. Şimdi sadece iki kapı kapalı kalıyor: 47 Numaralı Kapınız ve diğeri, örneğin 61 Numaralı Kapı. İlk seçiminizden vazgeçmeli misiniz?

Tabii ki evet! Arabanın ilk başta seçmediğiniz kapılardan birinin arkasında olma ihtimali yüzde 99'dur. Monty Hall bu kapılardan 98'ini açarak nezaket gösterdiniz, arkalarında araba yoktu. Böylece ilk seçiminizin (Kapı No. 47) doğru olma ihtimali 100'de 1'dir. Aynı zamanda, ilk seçiminizin yanlış olma ihtimali 100 üzerinden 99'dur. Eğer öyleyse, araba kalan kapının arkasında, yani 61 numaralı Kapının arkasındadır. 100 üzerinden 99 kazanma olasılığı ile oynamak istiyorsanız, o zaman 61 numaralı Kapıya "geçmelisiniz".

Kısacası, Let's Make a Deal oynamak zorunda kalırsanız, Monty Hall (veya onun yerini alacak kişi) size bir seçenek sunduğunda kesinlikle orijinal kararınızı geri almanız gerekecektir. Bu örnekten daha evrensel bir sonuç, belirli olayların olasılığı hakkındaki sezgisel tahminlerinizin bazen sizi yanıltabileceğidir.