Ortaçağ Matematikçisi Leonardo Fibonacci'nin Tavşanlarla İlgili Problemi

2024 Yazar: Malcolm Clapton | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 04:13

Gelecek yılın başında bir çift hayvanın ne kadar yavru vereceğini hesaplayın.

Leonardo Fibonacci olağanüstü bir ortaçağ matematikçisiydi. Arap rakamlarını kullanıma sokanın o olduğuna inanılıyor. Ondalık aritmetiği açıklayan ve teşvik eden Abaküs Kitabı'nda Fibonacci, tavşanlarla ilgili meşhur problemini verir. Çözmeye çalışın.

Ocak ayının başlarında, bir çift yeni doğmuş tavşan (erkek ve dişi), her tarafı çitle çevrili bir kafese yerleştirildi. Gelecek yılın başlarında kaç çift tavşan üretecekler? Aşağıdaki koşulları dikkate almak gerekir:

• Tavşanlar doğumdan iki ay sonra yani yaşamın üçüncü ayının başında cinsel olgunluğa erişirler.
• Her ayın başında cinsel olarak olgunlaşan her çift sadece bir çift doğurur.
• Hayvanlar her zaman "bir dişi + bir erkek" çiftleri halinde doğarlar.
• Tavşanlar ölümsüzdür, yırtıcılar onları yiyemez.

Bakalım ilk altı ayda tavşan sayısı nasıl artmış:

1. ay Bir çift genç tavşan.

2. ay Hala bir orijinal çift var. Tavşanlar henüz doğurganlık çağına gelmemiştir.

3. Ay İki çift: doğurganlık çağına gelmiş orijinal çift + doğurduğu bir çift genç tavşan.

4. ay Üç çift: bir orijinal çift + ayın başında doğurduğu bir çift tavşan + üçüncü ayda doğmuş, ancak henüz ergenliğe ulaşmamış bir çift tavşan.

Ay 5. Beş çift: bir asıl çift + üçüncü ayda doğan ve çocuk doğurma çağına ulaşmış bir çift + doğurdukları iki yeni çift + dördüncü ayda doğmuş ancak henüz reşit olmamış bir çift.

6. ay Sekiz çift: Geçen aydan beş çift + üç yeni doğan çift. Vesaire.

Daha açık hale getirmek için, alınan verileri tabloya yazalım:

Tabloyu dikkatlice incelerseniz, aşağıdaki kalıbı tanımlayabilirsiniz. Her seferinde n. ayda bulunan tavşan sayısı, bir önceki aydaki (n - 1) tavşan sayısına eşittir ve yeni doğan tavşan sayısı ile toplanır. Sayıları ise (n - 2) ay (iki ay önceydi) itibariyle toplam hayvan sayısına eşittir. Buradan formülü türetebilirsiniz:

F = F_{n - 1}+ F_{n - 2}, nerede F - n. ayda toplam tavşan çifti sayısı, F_{n - 1} önceki aydaki toplam tavşan çifti sayısı ve F_{n - 2} - iki ay önceki toplam tavşan çifti sayısı.

Bunu kullanarak önümüzdeki aylarda kaç hayvanı sayalım:

Ay 7. 8 + 5 = 13.

8. Ay 13 + 8 = 21.

9. Ay 21 + 13 = 34.

10. Ay. 34 +21 = 55.

11. Ay 55 + 34 = 89.

12. Ay. 89 + 55 = 144.

13. Ay (gelecek yılın başı). 144 + 89 = 233.

13. ayın başında yani yıl sonunda 233 çift tavşanımız olacak. Bunlardan 144'ü yetişkin, 89'u genç olacak. Ortaya çıkan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 dizisine Fibonacci sayıları denir. İçinde, her yeni son sayı, önceki iki sayının toplamına eşittir.

Cevabı göster Cevabı gizle